প্রদত্ত বর্তনীতে প্রতিটি রোধের মান $30\Omega$ হলে A ও B প্রান্তের মধ্যে রোধ কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত বর্তনীটি একটি বিশেষ ধরনের ব্রিজ সার্কিট, যেখানে ৫টি রোধ সংযুক্ত আছে। প্রতিটি রোধের মান \(R = 30\Omega\)। এই ধরনের বর্তনীর তুল্য রোধ নির্ণয়ের জন্য সাধারণত ডেল্টা-স্টার (Delta-Wye) বা স্টার-ডেল্টা (Wye-Delta) রূপান্তর পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

চিত্র অনুযায়ী, আমরা C, D এবং B নোডগুলির মধ্যে গঠিত ডেল্টা (\(\Delta\)) নেটওয়ার্কটি বিবেচনা করি। এই ডেল্টা নেটওয়ার্কের রোধগুলি হলো \(R_{CD}\), \(R_{DB}\) এবং \(R_{CB}\)। প্রতিটি রোধের মান \(R = 30\Omega\)।

এই ডেল্টা নেটওয়ার্কটিকে একটি স্টার (Wye) নেটওয়ার্কে রূপান্তর করা যাক। স্টার নেটওয়ার্কটির কেন্দ্র O এবং এর বাহুগুলি হবে \(R_C\), \(R_D\), \(R_B\)।

ডেল্টা থেকে স্টারে রূপান্তরের সূত্রগুলি হলো:

\(R_C = \frac{R_{CD} \cdot R_{CB}}{R_{CD} + R_{DB} + R_{CB}}\)

\(R_D = \frac{R_{CD} \cdot R_{DB}}{R_{CD} + R_{DB} + R_{CB}}\)

\(R_B = \frac{R_{DB} \cdot R_{CB}}{R_{CD} + R_{DB} + R_{CB}}\)

যেহেতু \(R_{CD} = R_{DB} = R_{CB} = R = 30\Omega\), আমরা মানগুলি বসিয়ে পাই:

\(R_C = \frac{R \cdot R}{R + R + R} = \frac{R^2}{3R} = \frac{R}{3}\)

\(R_D = \frac{R \cdot R}{R + R + R} = \frac{R^2}{3R} = \frac{R}{3}\)

\(R_B = \frac{R \cdot R}{R + R + R} = \frac{R^2}{3R} = \frac{R}{3}\)

এখন, \(R_C = R_D = R_B = \frac{30\Omega}{3} = 10\Omega\)।

ডেল্টা-স্টার রূপান্তরের পর, বর্তনীটি সরল হয়ে যায়:

    
• টার্মিনাল A থেকে C হয়ে O পর্যন্ত পথটির মোট রোধ (\(R_{ACO}\)):
          \(R_{ACO} = R_{AC} + R_C = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3}\)
    
• টার্মিনাল A থেকে D হয়ে O পর্যন্ত পথটির মোট রোধ (\(R_{ADO}\)):
          \(R_{ADO} = R_{AD} + R_D = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3}\)

এই দুটি পথ (\(R_{ACO}\) এবং \(R_{ADO}\)) এখন A ও O বিন্দুর মধ্যে সমান্তরালে সংযুক্ত আছে। তাদের তুল্য রোধ (\(R_{AO}\)) হবে:

\(\frac{1}{R_{AO}} = \frac{1}{R_{ACO}} + \frac{1}{R_{ADO}}\)

\(\frac{1}{R_{AO}} = \frac{1}{\frac{4R}{3}} + \frac{1}{\frac{4R}{3}} = \frac{3}{4R} + \frac{3}{4R} = \frac{6}{4R} = \frac{3}{2R}\)

সুতরাং, \(R_{AO} = \frac{2R}{3}\)

সবশেষে, A ও B প্রান্তের মধ্যে মোট তুল্য রোধ (\(R_{AB}\)) হবে \(R_{AO}\) এবং \(R_B\) এর সিরিজ সংযোগের সমান:

\(R_{AB} = R_{AO} + R_B\)

\(R_{AB} = \frac{2R}{3} + \frac{R}{3} = \frac{3R}{3} = R\)

প্রদত্ত প্রতিটি রোধের মান \(R = 30\Omega\) হওয়ায়, A ও B প্রান্তের মধ্যে তুল্য রোধ হবে \(30\Omega\)।